4) Найти \(\displaystyle\lim_{x\to0}(1+7x)^{1/x}\).

На доске выражение читается как \((1+7x)^{1/x}\). Используем стандартный предел, положив \(u=7x\):

\[\lim_{x\to0}(1+7x)^{1/x}=\left(\lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}\right)^7=e^7.\]

Ответ: \(e^7\).