4. Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя: а) lim при x→∞ (x − 2x² + 5x⁴)/(2 + 3x² + x⁴); б) lim при x→0 (√(1 + 3x²) − 1)/(x² + x³).

а) Разделим числитель и знаменатель на x⁴ — старшую степень:

lim_x→∞ (1/x³ − 2/x² + 5)/(2/x⁴ + 3/x² + 1) = 5.

б) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

(√(1 + 3x²) − 1)/(x² + x³) = 3x²/((√(1 + 3x²) + 1)(x² + x³)) = 3/((√(1 + 3x²) + 1)(1 + x)), при x ≠ 0.

Переходя к пределу при x → 0, получаем 3/(2 · 1) = 3/2.

Ответ: а) 5; б) 3/2.