7. Исследовать на наличие точек перегиба функцию y = 1/4 x⁴ − 2x³ + 1.

Найдём вторую производную: y′ = x³ − 6x², y″ = 3x² − 12x = 3x(x − 4).

Вторая производная обращается в ноль при x = 0 и x = 4. При x < 0 она положительна; при 0 < x < 4 — отрицательна; при x > 4 — положительна. Значит, в обеих точках знак y″ меняется, и обе являются абсциссами точек перегиба.

Вычислим ординаты: y(0) = 1; y(4) = 64 − 128 + 1 = −63.

Ответ: точки перегиба — (0, 1) и (4, −63).