6. Найти производные данных функций: а) y = √((1 + x²)/(1 − x²)); б) y = 1/2 tg² x + ln cos x.

а) Область определения в вещественных числах: −1 < x < 1. Обозначим выражение под корнем через u. Тогда y′ = u′/(2√u), где u = (1 + x²)/(1 − x²).

По правилу дифференцирования частного: u′ = (2x(1 − x²) + 2x(1 + x²))/(1 − x²)² = 4x/(1 − x²)².

Следовательно, y′ = 2x/((1 − x²)²√((1 + x²)/(1 − x²))).

б) Используем производные тангенса и логарифма: y′ = tg x · 1/cos² x − tg x = tg x (1/cos² x − 1) = tg³ x.

Ответ: а) y′ = 2x/((1 − x²)²√((1 + x²)/(1 − x²))); б) y′ = tg³ x.