4. Найти расстояние от точки K(−9; 4; −9) до плоскости, проходящей через точки L(9; 6; 9), D(−6; −3; −12) и F(−7; 3; 1).

Найдём два вектора плоскости: LD = (−15; −9; −21), LF = (−16; −3; −8). Их векторное произведение пропорционально (1; 24; −11), поэтому это нормальный вектор плоскости.

Уравнение плоскости через L: (x − 9) + 24(y − 6) − 11(z − 9) = 0, то есть x + 24y − 11z − 54 = 0.

Расстояние от K(x₀; y₀; z₀) до Ax + By + Cz + D = 0 равно |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|/√(A² + B² + C²).

Подставим координаты K: |−9 + 24·4 − 11(−9) − 54|/√(1² + 24² + (−11)²) = 132/√698.

Ответ: 132/√698.