5. Найти пределы: а) lim(x→∞) (4x⁶ − 4x³ + 2x)/(10x⁵ − 2x³ + 1); б) lim(x→0) (cos x − cos 5x)/x².

а) Сравним старшие степени числителя и знаменателя: дробь ведёт себя как (4x⁶)/(10x⁵) = (2/5)x. При x → ∞ это выражение стремится к +∞.

б) Используем разложение cos t = 1 − t²/2 + o(t²) при t → 0:

cos x − cos 5x = (1 − x²/2 + o(x²)) − (1 − 25x²/2 + o(x²)) = 12x² + o(x²).

Следовательно, после деления на x² предел равен 12.

Ответ: а) +∞; б) 12.