7. Провести полное исследование функции и построить ее график: y = (3x² − 7)/(2x + 1).

Область определения. Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому x ≠ −1/2.

Удобная форма. Делением многочленов получаем y = 3x/2 − 3/4 − 25/[4(2x + 1)].

Пересечения с осями. Нули функции определяются уравнением 3x² − 7 = 0: x = ±√21/3. При x = 0 получаем y = −7, поэтому пересечение с осью Oy — (0; −7).

Знак функции. Нули числителя: −√21/3 и √21/3; точка разрыва: −1/2. По знакам числителя и знаменателя функция отрицательна на (−∞; −√21/3) и (−1/2; √21/3), положительна на (−√21/3; −1/2) и (√21/3; +∞).

Непрерывность и асимптоты. Функция непрерывна на каждом промежутке области определения. x = −1/2 — вертикальная асимптота; при x → −1/2− функция стремится к +∞, при x → −1/2+ — к −∞. Из представления функции следует наклонная асимптота y = 3x/2 − 3/4.

Монотонность и экстремумы. y′ = (6x² + 6x + 14)/(2x + 1)². Квадратный трёхчлен в числителе положителен: его дискриминант равен −300, а старший коэффициент положителен. Поэтому функция строго возрастает на (−∞; −1/2) и (−1/2; +∞); экстремумов нет.

Выпуклость. y″ = −50/(2x + 1)³. На (−∞; −1/2) y″ > 0, а на (−1/2; +∞) y″ < 0. Точки перегиба в области определения нет.

Симметрия и область значений. График обладает центральной симметрией относительно точки пересечения асимптот (−1/2; −3/2). На каждой из двух ветвей функция непрерывно возрастает от −∞ до +∞, поэтому область значений — все действительные числа.

Для графика показаны обе ветви функции, вертикальная и наклонная асимптоты; окно графика ограничено по y, поэтому его бесконечные ветви обрезаны границами окна.