4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола y = ¼x² и прямая y = 6x − 16. Если точки пересечения существуют, найдите их координаты.

Приравняем правые части уравнений графиков: \(\frac14x^2=6x-16\). Умножив на 4, получим \(x^2-24x+64=0\).

Дискриминант: \(D=24^2-4\cdot64=320=(8\sqrt5)^2\). Он положителен, значит графики пересекаются в двух точках.

Абсциссы: \(x=\frac{24\pm8\sqrt5}{2}=12\pm4\sqrt5\). Подставим в уравнение прямой: \(y=6x-16=56\pm24\sqrt5\).

Ответ: точки пересечения \((12-4\sqrt5;56-24\sqrt5)\) и \((12+4\sqrt5;56+24\sqrt5)\).