№ 4. Постройте на координатной плоскости точки A(-4; -5); B(0; 4) и F(3; -2). Проведите прямую AF. Через точку В проведите прямую, параллельную прямой AF, и прямую, перпендикулярную прямой AF.

Решение:

1. Построение точек и прямой AF:

   На координатной плоскости отмечаем точки A(-4; -5) и F(3; -2). Соединяем их прямой линией.

2. Нахождение углового коэффициента прямой AF:

   Формула углового коэффициента прямой (k) проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2):

   \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

   Для точек A(-4; -5) и F(3; -2):

   \[ k_{AF} = \frac{-2 - (-5)}{3 - (-4)} = \frac{-2 + 5}{3 + 4} = \frac{3}{7} \]
3. Построение прямой, параллельной AF, через точку B(0; 4):

   Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Значит, угловой коэффициент искомой прямой (m) равен k_AF:

   \[ k_m = k_{AF} = \frac{3}{7} \]

   Уравнение прямой имеет вид y = kx + b. Для точки B(0; 4), x = 0, y = 4:

   \[ 4 = \frac{3}{7} \times 0 + b \]

   \( b = 4 \)

   Уравнение параллельной прямой:

   \[ y = \frac{3}{7}x + 4 \]
4. Построение прямой, перпендикулярной AF, через точку B(0; 4):

   Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением: k1 * k2 = -1.

   Угловой коэффициент искомой прямой (p):

   \[ k_p \times k_{AF} = -1 \]

   \( k_p \times \frac{3}{7} = -1 \)

   \[ k_p = -1 : \frac{3}{7} = -1 \times \frac{7}{3} = -\frac{7}{3} \]

   Уравнение прямой имеет вид y = kx + b. Для точки B(0; 4), x = 0, y = 4:

   \[ 4 = -\frac{7}{3} \times 0 + b \]

   \( b = 4 \)

   Уравнение перпендикулярной прямой:

   \[ y = -\frac{7}{3}x + 4 \]
5. Визуализация:

   На координатной плоскости построены точки A, B, F. Проведена прямая AF. Через точку B построена прямая y = (3/7)x + 4 (параллельная AF) и прямая y = (-7/3)x + 4 (перпендикулярная AF).