4. При каких значениях переменной x имеет смысл выражение (x + 7) / (2x² - x - 6)?

Задание 4. Значения переменной для выражения

Чтобы дробь имела смысл, знаменатель не должен быть равен нулю. То есть, \( 2x^2 - x - 6 \neq 0 \).

Решение:

1. Найдем корни квадратного уравнения \( 2x^2 - x - 6 = 0 \). Можно использовать дискриминант.
2. Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \). В нашем случае \( a=2, b=-1, c=-6 \).
3. Вычислим дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 1 - (-48) = 1 + 48 = 49 \]
4. Так как \( D > 0 \), есть два действительных корня. Найдем их по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
5. Первый корень: \[ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]
6. Второй корень: \[ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 \times 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5 \]
7. Знаменатель обращается в ноль при \( x=2 \) и \( x=-1.5 \).
8. Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях \( x \), кроме \( x=2 \) и \( x=-1.5 \).

Ответ: выражение имеет смысл при \( x \neq 2 \) и \( x \neq -1.5 \).