5. Докажите тождество: (b / (b² - 8b + 16) - (b + 6) / (b² - 16)) : ((b + 12) / (b² - 16)) = 2 / (b - 4).

Задание 5. Доказательство тождества

Нужно доказать тождество:

\[ \left( \frac{b}{b^2 - 8b + 16} - \frac{b+6}{b^2 - 16} \right) : \frac{b+12}{b^2 - 16} = \frac{2}{b-4} \]

Решение:

1. Преобразуем знаменатели дробей, разложив их на множители:
• \( b^2 - 8b + 16 = (b-4)^2 \)
• \( b^2 - 16 = (b-4)(b+4) \)
2. Подставим разложенные знаменатели в левую часть тождества:
• \( \frac{b}{(b-4)^2} - \frac{b+6}{(b-4)(b+4)} \)
3. Приведем дроби к общему знаменателю \( (b-4)^2(b+4) \) (для первой дроби дополнительный множитель \( (b+4) \), для второй — \( (b-4) \)):
• \[ \frac{b(b+4)}{(b-4)^2(b+4)} - \frac{(b+6)(b-4)}{(b-4)^2(b+4)} = \frac{b^2+4b - (b^2-4b+6b-24)}{(b-4)^2(b+4)} = \frac{b^2+4b - (b^2+2b-24)}{(b-4)^2(b+4)} \]
• Раскроем скобки в числителе:
• \[ \frac{b^2+4b - b^2-2b+24}{(b-4)^2(b+4)} = \frac{2b+24}{(b-4)^2(b+4)} \]
• Вынесем общий множитель 2 из числителя:
• \[ \frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)} \]
4. Теперь выполним деление. Вместо деления на дробь умножим на обратную дробь:
• \[ \frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)} \times \frac{(b-4)(b+4)}{b+12} \]
• Сократим одинаковые множители \( (b+12) \), \( (b+4) \) и один множитель \( (b-4) \) из знаменателя:
• \[ \frac{2}{(b-4)} \]
5. Полученное выражение \( \frac{2}{b-4} \) равно правой части тождества.

Тождество доказано.