Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 4. Радиус окружности с центром в точке О равен 15, длина хорды АВ равна 18 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды АВ до…Фото задания

Ответ:

Дано:

  • Радиус окружности R = 15.
  • Хорда AB = 18.
  • Касательная k || AB.

Найти: Расстояние от хорды AB до касательной k.

Решение:

  1. Проведем радиус OA и OB. Треугольник OAB равнобедренный (OA = OB = R = 15).
  2. Опустим перпендикуляр OM из центра O на хорду AB. Этот перпендикуляр будет делить хорду пополам, так как треугольник OAB равнобедренный.
  3. AM = MB = AB / 2 = 18 / 2 = 9.
  4. В прямоугольном треугольнике OMA (угол OMA = 90°), по теореме Пифагора найдем OM:
  5. OM² + AM² = OA²
  6. OM² + 9² = 15²
  7. OM² + 81 = 225
  8. OM² = 225 - 81
  9. OM² = 144
  10. OM = √144 = 12.
  11. OM — это расстояние от центра окружности до хорды AB.
  12. Теперь рассмотрим касательную k, параллельную хорде AB. Расстояние от центра O до касательной k равно радиусу, проведенному в точку касания, и это расстояние перпендикулярно касательной.
  13. Пусть точка касания — T. Тогда OT ⊥ k, и OT = R = 15.
  14. Так как AB || k, то перпендикуляр, проведенный из точки O к AB (OM), также будет перпендикулярен к касательной k (или будет лежать на одной прямой с перпендикуляром к k).
  15. Расстояние от хорды AB до касательной k будет равно разности между расстоянием от центра до касательной (OT) и расстоянием от центра до хорды (OM), если хорда и касательная находятся по разные стороны от центра, или сумме, если по одну. По рисунку видно, что они по разные стороны.
  16. Расстояние = OT + OM = 15 + 12 = 27.

Примечание: На рисунке 4 показана хорда AB и касательная k. Перпендикуляр из центра O на хорду AB равен 12. Касательная k параллельна AB. Расстояние от центра до касательной равно радиусу (15). Точка касания T находится на продолжении радиуса, перпендикулярного AB. Таким образом, расстояние от хорды до касательной равно сумме расстояния от центра до хорды и радиуса. Если бы касательная была с другой стороны, то расстояние было бы |15 - 12| = 3. Но по рисунку видно, что касательная расположена так, что расстояние больше. Скорее всего, имеется в виду одна из двух параллельных касательных.

Ответ: 27