4. Разложите вектор \( \vec{AB} \) по векторам \( \vec{i} \); \( \vec{j} \); \( \vec{k} \), если A (1; 2; 3); B (3; 2; 1).

Решение:

Сначала найдем координаты вектора \( \vec{AB} \):

\( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) \)

\( \vec{AB} = (3 - 1; 2 - 2; 1 - 3) \)

\( \vec{AB} = (2; 0; -2) \)

Вектор \( \vec{AB} \) раскладывается по единичным ортонормированным векторам \( \vec{i} \), \( \vec{j} \), \( \vec{k} \) следующим образом:

\( \vec{AB} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k} \)

где \( x, y, z \) — координаты вектора \( \vec{AB} \).

\( \vec{AB} = 2 \vec{i} + 0 \vec{j} + (-2) \vec{k} \)

\( \vec{AB} = 2 \vec{i} - 2 \vec{k} \)

Ответ: \( \vec{AB} = 2 \vec{i} - 2 \vec{k} \).