7. Найти \( SA \) и доказать, что он прямоугольный. A (-1; 5; 3), B (7; -1; 3), C (3; -2; 6).

Решение:

Для того чтобы доказать, что треугольник \( ABC \) прямоугольный, найдем квадраты длин его сторон.

1. Найдем квадрат длины стороны \( AB \):

\( AB^2 = (7 - (-1))^2 + (-1 - 5)^2 + (3 - 3)^2 \)

\( AB^2 = (8)^2 + (-6)^2 + (0)^2 \)

\( AB^2 = 64 + 36 + 0 = 100 \)

2. Найдем квадрат длины стороны \( BC \):

\( BC^2 = (3 - 7)^2 + (-2 - (-1))^2 + (6 - 3)^2 \)

\( BC^2 = (-4)^2 + (-1)^2 + (3)^2 \)

\( BC^2 = 16 + 1 + 9 = 26 \)

3. Найдем квадрат длины стороны \( AC \):

\( AC^2 = (3 - (-1))^2 + (-2 - 5)^2 + (6 - 3)^2 \)

\( AC^2 = (4)^2 + (-7)^2 + (3)^2 \)

\( AC^2 = 16 + 49 + 9 = 74 \)

Проверим выполнение теоремы Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

\( AB^2 = 100 \)

\( BC^2 + AC^2 = 26 + 74 = 100 \)

Так как \( AB^2 = BC^2 + AC^2 \), то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник \( ABC \) является прямоугольным, и прямой угол находится при вершине \( C \).

Ответ: Длины сторон \( AB = \sqrt{100} = 10 \), \( BC = \sqrt{26} \), \( AC = \sqrt{74} \). Треугольник \( ABC \) прямоугольный, так как \( AB^2 = BC^2 + AC^2 \).