6. Найдите значение m, при которых векторы \( \vec{a} = \{1; -2; m \} \) и \( \vec{b} = \{m; 6; 3 \} \) перпендикулярны.

Решение:

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)

Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \):

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(m) + (-2)(6) + (m)(3) \)

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = m - 12 + 3m \)

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 4m - 12 \)

Приравняем скалярное произведение к нулю:

\( 4m - 12 = 0 \)

\( 4m = 12 \)

\( m = \frac{12}{4} \)

\( m = 3 \)

Ответ: \( m = 3 \).