Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 5. Найдите угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \), если A (3; -1; 3), B (3; -2; 2), C (2; 2; 3), D (1; 2; 2).Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Найдем координаты вектора \( \vec{AB} \):

    2. \( \vec{AB} = (3 - 3; -2 - (-1); 2 - 3) = (0; -1; -1) \)

  2. Найдем координаты вектора \( \vec{CD} \):

    3. \( \vec{CD} = (1 - 2; 2 - 2; 2 - 3) = (-1; 0; -1) \)

  3. Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \):

    4. \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (0)(-1) + (-1)(0) + (-1)(-1) = 0 + 0 + 1 = 1 \)

  4. Найдем длины векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \):

    5. \( |\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \)

    \( |\vec{CD}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \)

  5. Найдем косинус угла между векторами по формуле:

    6. \( \cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \)

  6. Найдем угол \( \alpha \):

    7. \( \alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^{\circ} \)

Ответ: Угол между векторами равен \( 60^{\circ} \).