4. Решите систему уравнений: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ y - x = 3. \end{cases} \)

Решение: 1. Из второго уравнения выразим y: \(y = x + 3\). 2. Подставим это выражение для y в первое уравнение: \(x^2 + (x+3)^2 = 17\). 3. Раскроем скобки: \(x^2 + x^2 + 6x + 9 = 17\). 4. Приведем подобные слагаемые: \(2x^2 + 6x + 9 = 17\). 5. Перенесем 17 в левую часть: \(2x^2 + 6x - 8 = 0\). 6. Разделим обе части на 2: \(x^2 + 3x - 4 = 0\). 7. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25\). \(\sqrt{D} = 5\). 8. Найдем корни: \(x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4\). 9. Найдем соответствующие значения y: если \(x_1 = 1\), то \(y_1 = 1 + 3 = 4\), если \(x_2 = -4\), то \(y_2 = -4 + 3 = -1\). Ответ: Решения системы уравнений: \((1, 4)\) и \((-4, -1)\).