4. Решите уравнения: a) 8^x-2 + 2 * 8^x - 2 * 8^x-1 = 904; б) 3 * 9^x - 10 * 3^x + 3 = 0.

Решение:

а) \( 8^{x-2} + 2 \cdot 8^x - 2 \cdot 8^{x-1} = 904 \)

Вынесем общий множитель \( 8^{x-2} \):

\( 8^{x-2} \cdot (1 + 2 \cdot 8^2 - 2 \cdot 8^1) = 904 \)

\( 8^{x-2} \cdot (1 + 2 \cdot 64 - 16) = 904 \)

\( 8^{x-2} \cdot (1 + 128 - 16) = 904 \)

\( 8^{x-2} \cdot 113 = 904 \)

\( 8^{x-2} = 904 / 113 \)

\( 8^{x-2} = 8 \)

\( x-2 = 1 \)

\( x = 3 \)

б) \( 3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0 \)

Заменим \( 9^x \) на \( (3^x)^2 \) и введём замену \( t = 3^x \), где \( t > 0 \).

\( 3t^2 - 10t + 3 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \)

\( t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \)

\( t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = 1/3 \)

Так как \( t > 0 \), оба корня подходят.

Вернёмся к замене:

1) \( 3^x = 3 \) \( \Rightarrow \) \( x = 1 \)

2) \( 3^x = 1/3 \) \( \Rightarrow \) \( 3^x = 3^{-1} \) \( \Rightarrow \) \( x = -1 \)

Ответ: а) \( 3 \); б) \( 1, -1 \).