6. Решите уравнение 3 * 25^x + 4 * 15^x - 15 * 9^x = 0.

Решение:

Разделим обе части уравнения на \( 9^x \) (так как \( 9^x \) всегда больше нуля):

\( 3 \cdot \frac{25^x}{9^x} + 4 \cdot \frac{15^x}{9^x} - 15 = 0 \)

\( 3 \cdot (\frac{25}{9})^x + 4 \cdot (\frac{15}{9})^x - 15 = 0 \)

\( 3 \cdot (\frac{5}{3})^{2x} + 4 \cdot (\frac{5}{3})^x - 15 = 0 \)

Введём замену \( t = (5/3)^x \), где \( t > 0 \).

\( 3t^2 + 4t - 15 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196 \)

\( \sqrt{D} = 14 \)

\( t_1 = \frac{-4 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = 5/3 \)

\( t_2 = \frac{-4 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3 \)

Так как \( t > 0 \), подходит только \( t_1 = 5/3 \).

Вернёмся к замене:

\( (5/3)^x = 5/3 \)

\( x = 1 \)

Ответ: \( 1 \).