7. Решите неравенства 1) 3^x ≥ 81 2) 5^x-1 < 625 3) 0,2^x²+x-6 < 1

Решение:

1) \( 3^x ≥ 81 \)

Представим 81 как степень тройки: \( 81 = 3^4 \).

\( 3^x ≥ 3^4 \)

Так как основание \( 3 > 1 \), функция возрастает. Приравниваем показатели:

\( x ≥ 4 \)

2) \( 5^{x-1} < 625 \)

Представим 625 как степень пятерки: \( 625 = 5^4 \).

\( 5^{x-1} < 5^4 \)

Так как основание \( 5 > 1 \), функция возрастает. Приравниваем показатели:

\( x-1 < 4 \)

\( x < 5 \)

3) \( 0,2^{x^2+x-6} < 1 \)

Представим 1 как степень 0,2: \( 1 = (0,2)^0 \).

\( (0,2)^{x^2+x-6} < (0,2)^0 \)

Так как основание \( 0,2 \) находится между 0 и 1 (\( 0 < 0,2 < 1 \)), функция убывает. Приравниваем показатели, меняя знак неравенства:

\( x^2 + x - 6 > 0 \)

Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения \( x^2 + x - 6 = 0 \):

\( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \)

\( x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \)

Парабола \( y = x^2 + x - 6 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 + x - 6 > 0 \) при \( x < -3 \) или \( x > 2 \).

Ответ: 1) \( x ≥ 4 \); 2) \( x < 5 \); 3) \( x < -3 \) или \( x > 2 \).