4. Решите задачу: Два бегуна одновременно стартовали из одного и того же места в одном и том же направлении. Спустя 1 час, когда одному из них оставалось бежать 1км до финиша, ему сообщили, что второй бегун миновал финиш 5 минут назад. Найдите скорость каждого бегуна, если известно, что скорость первого на 2 км/ч меньше скорости второго.

Решение:

Обозначим:

• $$v_1$$ — скорость первого бегуна (км/ч)
• $$v_2$$ — скорость второго бегуна (км/ч)
• $$S$$ — длина дистанции (км)

По условию, \( v_1 = v_2 - 2 \).

Через 1 час (60 минут) первый бегун пробежал \( v_1 \) км.

Ему осталось пробежать 1 км, значит, дистанция \( S = v_1 + 1 \) км.

Второй бегун миновал финиш на 5 минут (\( \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \) часа) раньше, чем первый бегун закончил свой 1-й час бега.

Время, за которое второй бегун пробежал дистанцию \( S \), равно \( t_2 = \frac{S}{v_2} \).

Время, за которое первый бегун пробежал дистанцию \( S \), равно \( t_1 = \frac{S}{v_1} \).

Из условия задачи, когда первый бегун бежал 1 час, ему оставалось 1 км. Значит, время, которое он затратил на всю дистанцию, равно \( t_1 = 1 + \frac{1}{v_1} \) часа.

Второй бегун финишировал на 5 минут раньше, чем первый завершил свой первый час бега. Это означает, что второй бегун финишировал через \( 1 - \frac{5}{60} = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} \) часа с момента старта.

Таким образом, время второго бегуна на дистанции \( S \) равно \( t_2 = \frac{11}{12} \) часа.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $$v_1 = v_2 - 2$$
2. $$S = v_1 + 1$$
3. $$S = v_2 \cdot \frac{11}{12}$$

Подставим (1) и (2) в (3):

$$(v_2 - 2) + 1 = v_2 \cdot \frac{11}{12}$$

$$v_2 - 1 = \frac{11}{12} v_2$$

$$v_2 - \frac{11}{12} v_2 = 1$$

$$\frac{1}{12} v_2 = 1$$

$$v_2 = 12$$ км/ч

Теперь найдём скорость первого бегуна:

$$v_1 = v_2 - 2 = 12 - 2 = 10$$ км/ч

Проверим дистанцию:

$$S = v_1 + 1 = 10 + 1 = 11$$ км.

$$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{11}{12}$$ часа, что соответствует 55 минутам. Второй бегун финишировал за 55 минут.

Первый бегун финишировал через \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{11}{10} = 1.1 \) часа, что равно 1 часу 6 минутам.

Когда первый бегун бежал 1 час, он пробежал 10 км. Ему оставался 1 км. Это верно.

Когда первый бегун бежал 1 час, второй бегун уже финишировал 5 минут назад. Это значит, что второй финишировал через 55 минут. Это также верно.

Ответ: Скорость первого бегуна — 10 км/ч, скорость второго бегуна — 12 км/ч.