6. Докажите, что a) значение выражения $$(x - 2y)(x - 2y - 4) + 4$$ неотрицательно при любых значениях х и у. б) $$(19^3 + 31^2)$$ делится на 25.

Решение:

а)

1. Пусть \( a = x - 2y \). Тогда выражение принимает вид:
2. $$a(a - 4) + 4$$
3. Раскроем скобки:
4. $$a^2 - 4a + 4$$
5. Это квадрат разности \( (a - 2)^2 \).
6. Подставим обратно \( a = x - 2y \):
7. $$(x - 2y - 2)^2$$
8. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то \( (x - 2y - 2)^2 \geq 0 \) при любых значениях х и у.
9. Следовательно, значение выражения неотрицательно.

б)

1. Нам нужно доказать, что \( 19^3 + 31^2 \) делится на 25.
2. Рассмотрим остатки от деления на 25:
3. $$19 \equiv -6 \pmod{25}$$
4. $$19^3 \equiv (-6)^3 = -216 \pmod{25}$$
5. $$-216 = -9 \cdot 25 + 9$$, поэтому \( -216 \equiv 9 \pmod{25} \).
6. $$31 \equiv 6 \pmod{25}$$
7. $$31^2 \equiv 6^2 = 36 \pmod{25}$$
8. $$36 = 1 \cdot 25 + 11$$, поэтому \( 36 \equiv 11 \pmod{25} \).
9. Теперь сложим остатки:
10. $$19^3 + 31^2 \equiv 9 + 11 = 20 \pmod{25}$$
11. Так как остаток от деления равен 20, а не 0, то \( 19^3 + 31^2 \) не делится на 25.
12. Возможно, в условии ошибка, и должно быть \( 19^2 + 31^2 \) или \( 19^3 + 31^3 \).
13. Проверим \( 19^2 + 31^2 \):
14. $$19^2 = 361 \equiv 11 \pmod{25}$$
15. $$31^2 \equiv 11 \pmod{25}$$
16. $$19^2 + 31^2 \equiv 11 + 11 = 22 \pmod{25}$$. Не делится.
17. Проверим \( 19^3 + 31^3 \):
18. $$19^3 \equiv 9 \pmod{25}$$
19. $$31^3 \equiv 6^3 = 216 \pmod{25}$$. \( 216 = 8 · 25 + 16 \), так что \( 216 \equiv 16 \pmod{25} \).
20. $$19^3 + 31^3 \equiv 9 + 16 = 25 \equiv 0 \pmod{25}$$. Делится.
21. Предположим, что в задании было \( 19^3 + 31^3 \).
22. $$19^3 + 31^3 = (19+31)(19^2 - 19 · 31 + 31^2) = 50 (361 - 589 + 961) = 50 (733)$$
23. $$50(733) = 25 · 2 · 733$$. Это число делится на 25.
24. Если же задание именно \( 19^3 + 31^2 \), то оно не делится на 25.

Ответ: а) Доказано; б) Утверждение неверно, так как $$19^3 + 31^2$$ дает остаток 20 при делении на 25. Если бы было $$19^3 + 31^3$$, то оно делится на 25.