5. Вычислите наиболее удобным способом a) $$27xy^3 - 27y^2x - x + 9xy$$ при $$x = -0,81; y = \frac{4}{9}$$ б) $$\frac{327^3 + 173^3}{327 \cdot 173 + 154^2}$$

Решение:

а)

1. Вынесем общий множитель \( 27y^2x \) из первых двух слагаемых:
2. $$27y^2x(y - 1) - x + 9xy$$
3. Вынесем общий множитель \( -x \) из последних двух слагаемых:
4. $$27y^2x(y - 1) - x(1 - 9y)$$
5. Заметим, что \( (y - 1) = -(1 - y) \) и \( (1 - 9y) = -(9y - 1) \).
6. Перепишем выражение:
7. $$27y^2x(y - 1) + x(9y - 1)$$
8. Это не упрощает выражение. Попробуем иначе.
9. Вынесем \( 9xy \) из выражения:
10. $$9xy(3y^2 - 3y - \frac{1}{9y} + 1)$$
11. Это тоже не упрощает.
12. Давайте попробуем вынести \( 9xy \) из первого и последнего слагаемых, а \( -27y^2x \) из второго.
13. $$27xy^3 - 27y^2x - x + 9xy = 9xy(3y^2 + 1) - (27y^2x + x) = 9xy(3y^2 + 1) - x(27y^2 + 1)$$
14. Попробуем вынести \( 9xy \) из первых и последних двух членов.
15. $$27xy^3 - 27y^2x - x + 9xy = 9xy(3y^2 - 3y + 1) - x$$
16. Попробуем вынести \( 9xy \) из первых и последних членов, а \( -27y^2x \) — из вторых.
17. $$27xy^3 - 27y^2x - x + 9xy = 9xy(3y^2 + 1) - 27y^2x - x$$
18. Попробуем вынести \( x \) и \( 9y \) из некоторой части.
19. $$27xy^3 - 27y^2x - x + 9xy = 9xy(3y^2 - 3y + 1) - x$$
20. Снова перегруппируем:
21. $$27xy^3 - x - 27y^2x + 9xy = x(27y^3 - 1) - 9xy(3y - 1)$$
22. Используем формулу разности кубов \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \).
23. $$x(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1) - 9xy(3y - 1)$$
24. Вынесем общий множитель \( x(3y - 1) \):
25. $$x(3y - 1)[(9y^2 + 3y + 1) - 9y]$$
26. $$x(3y - 1)(9y^2 - 6y + 1)$$
27. Заметим, что \( 9y^2 - 6y + 1 \) — это квадрат разности \( (3y - 1)^2 \).
28. $$x(3y - 1)(3y - 1)^2 = x(3y - 1)^3$$
29. Теперь подставим значения: \( x = -0,81 \) и \( y = \frac{4}{9} \).
30. $$3y - 1 = 3 \cdot \frac{4}{9} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$$
31. $$(3y - 1)^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$$
32. $$x(3y - 1)^3 = -0,81 \cdot \frac{1}{27} = -\frac{81}{100} \cdot \frac{1}{27} = -\frac{3 \cdot 27}{100} \cdot \frac{1}{27} = -\frac{3}{100} = -0,03$$

б)

1. Воспользуемся формулой суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \).
2. В числителе: \( 327^3 + 173^3 = (327 + 173)(327^2 - 327 · 173 + 173^2) \)
3. \( 327 + 173 = 500 \)
4. Знаменатель: \( 327 · 173 + 154^2 \)
5. Заметим, что \( 154 = 327 - 173 \).
6. Знаменатель: \( 327 · 173 + (327 - 173)^2 \)
7. \( 327 · 173 + (327^2 - 2 · 327 · 173 + 173^2) \)
8. \( 327^2 + 327 · 173 - 2 · 327 · 173 + 173^2 \)
9. \( 327^2 - 327 · 173 + 173^2 \)
10. Теперь подставим обратно в дробь:
11. $$\frac{(327 + 173)(327^2 - 327 · 173 + 173^2)}{327^2 - 327 · 173 + 173^2}$$
12. Сокращаем одинаковые множители:
13. $$327 + 173 = 500$$

Ответ: а) -0,03; б) 500.