4. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны: a) 1 и 3; б) -2 и 0,5; в) 0 и 4; г) 1/3 и 1/3; д) √3 и -√3; е) 1-√3 и 1+√3.

Решение:

Квадратное уравнение с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \) можно составить по формуле: \( x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0 \).

1. а) Корни 1 и 3:
   • Сумма корней: \( 1 + 3 = 4 \)
   • Произведение корней: \( 1 \cdot 3 = 3 \)
   • Уравнение: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \)
2. б) Корни -2 и 0,5:
   • Сумма корней: \( -2 + 0,5 = -1,5 \)
   • Произведение корней: \( -2 \cdot 0,5 = -1 \)
   • Уравнение: \( x^2 - (-1,5)x + (-1) = 0 \) ⇒ \( x^2 + 1,5x - 1 = 0 \)
3. в) Корни 0 и 4:
   • Сумма корней: \( 0 + 4 = 4 \)
   • Произведение корней: \( 0 \cdot 4 = 0 \)
   • Уравнение: \( x^2 - 4x + 0 = 0 \) ⇒ \( x^2 - 4x = 0 \)
4. г) Корни 1/3 и 1/3:
   • Сумма корней: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)
   • Произведение корней: \( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \)
   • Уравнение: \( x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 0 \)
5. д) Корни √3 и -√3:
   • Сумма корней: \( \sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0 \)
   • Произведение корней: \( \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -3 \)
   • Уравнение: \( x^2 - 0x + (-3) = 0 \) ⇒ \( x^2 - 3 = 0 \)
6. е) Корни 1-√3 и 1+√3:
   • Сумма корней: \( (1-\sqrt{3}) + (1+\sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} = 2 \)
   • Произведение корней: \( (1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2 \)
   • Уравнение: \( x^2 - 2x + (-2) = 0 \) ⇒ \( x^2 - 2x - 2 = 0 \)

Ответ:

• а) \( x^2 - 4x + 3 = 0 \)
• б) \( x^2 + 1,5x - 1 = 0 \)
• в) \( x^2 - 4x = 0 \)
• г) \( x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 0 \)
• д) \( x^2 - 3 = 0 \)
• е) \( x^2 - 2x - 2 = 0 \)