6. Решите уравнение: a) x² + x = 0; б) x²-4x+3=0; в) 5х²+14х-3=0; г) x²-2x-2=0; д) 5х=3x²;\(\ne\)) x²-5x+4 = 0; ж) 7х²-4=0; з) 3x²-x+2=0.

Решение:

Решим каждое уравнение.

1. а) x² + x = 0
   Вынесем общий множитель x: \( x(x+1) = 0 \).
   Корни: \( x_1 = 0 \) или \( x+1=0 ⇒ x_2 = -1 \).
2. б) x²-4x+3=0
   Это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \>. \( \sqrt{D} = 2 \).
   Корни: \( x_1 = \frac{4+2}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{4-2}{2} = 1 \).
3. в) 5х²+14х-3=0
   Дискриминант \( D = 14^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256 \>. \( \sqrt{D} = 16 \).
   Корни: \( x_1 = \frac{-14+16}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = 0,2 \), \( x_2 = \frac{-14-16}{2 \cdot 5} = \frac{-30}{10} = -3 \).
4. г) x²-2x-2=0
   Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 \>. \( \sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).
   Корни: \( x_1 = \frac{2+2\sqrt{3}}{2} = 1+\sqrt{3} \), \( x_2 = \frac{2-2\sqrt{3}}{2} = 1-\sqrt{3} \).
5. д) 5х=3x²
   Перенесём всё в одну сторону: \( 3x^2 - 5x = 0 \>.
   Вынесем общий множитель x: \( x(3x-5) = 0 \).
   Корни: \( x_1 = 0 \) или \( 3x-5=0 ⇒ x_2 = 5/3 \).
6. е) x²-5x+4 = 0
   Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \>. \( \sqrt{D} = 3 \).
   Корни: \( x_1 = \frac{5+3}{2} = 4 \), \( x_2 = \frac{5-3}{2} = 1 \).
7. ж) 7х²-4=0
   \( 7x^2 = 4 \> ⇒ \( x^2 = 4/7 \>. \( x = \pm\sqrt{4/7} = \pm\frac{2}{\sqrt{7}} = \pm\frac{2\sqrt{7}}{7} \).
   Корни: \( x_1 = \frac{2\sqrt{7}}{7} \), \( x_2 = -\frac{2\sqrt{7}}{7} \).
8. з) 3x²-x+2=0
   Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23 \>. \( D < 0 \), действительных корней нет.

Ответ:

• а) \( x_1 = 0, x_2 = -1 \)
• б) \( x_1 = 1, x_2 = 3 \)
• в) \( x_1 = 0,2, x_2 = -3 \)
• г) \( x_1 = 1+\sqrt{3}, x_2 = 1-\sqrt{3} \)
• д) \( x_1 = 0, x_2 = 5/3 \)
• е) \( x_1 = 1, x_2 = 4 \)
• ж) \( x_1 = \frac{2\sqrt{7}}{7}, x_2 = -\frac{2\sqrt{7}}{7} \)
• з) Действительных корней нет