4. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны: a) 1 и 3; б) -2 и 0,5; в) 0 и 4; г) 1/3 и -1/6; д) √3 и -√3; е) 1-√3 и 1+√3.

Решение:

Квадратное уравнение с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \) можно записать в виде \( x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0 \).

а) Корни 1 и 3:

Сумма корней: \( 1 + 3 = 4 \)

Произведение корней: \( 1 \cdot 3 = 3 \)

Уравнение: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).

б) Корни -2 и 0,5:

Сумма корней: \( -2 + 0.5 = -1.5 \)

Произведение корней: \( -2 \cdot 0.5 = -1 \)

Уравнение: \( x^2 - (-1.5)x + (-1) = 0 \) ⇒ \( x^2 + 1.5x - 1 = 0 \).

в) Корни 0 и 4:

Сумма корней: \( 0 + 4 = 4 \)

Произведение корней: \( 0 \cdot 4 = 0 \)

Уравнение: \( x^2 - 4x + 0 = 0 \) ⇒ \( x^2 - 4x = 0 \).

г) Корни 1/3 и -1/6:

Сумма корней: \( \frac{1}{3} + (-\frac{1}{6}) = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \)

Произведение корней: \( \frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{18} \)

Уравнение: \( x^2 - \frac{1}{6}x - \frac{1}{18} = 0 \). Умножим на 18: \( 18x^2 - 3x - 1 = 0 \).

д) Корни √3 и -√3:

Сумма корней: \( \sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0 \)

Произведение корней: \( \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = -3 \)

Уравнение: \( x^2 - 0x + (-3) = 0 \) ⇒ \( x^2 - 3 = 0 \).

е) Корни 1-√3 и 1+√3:

Сумма корней: \( (1 - \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3}) = 1 + 1 = 2 \)

Произведение корней: \( (1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2 \)

Уравнение: \( x^2 - 2x - 2 = 0 \).

Ответ: а) x² - 4x + 3 = 0; б) x² + 1.5x - 1 = 0; в) x² - 4x = 0; г) 18x² - 3x - 1 = 0; д) x² - 3 = 0; е) x² - 2x - 2 = 0.