5. При каких значениях n можно представить в виде квадрата двучлена выражение: a) x²-nx+16; б) x²+6x-n; в) nx²-12x+4; г) x²+nx+4/49?

Решение:

Выражение является квадратом двучлена, если оно имеет вид \( (ax+b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2 \) или \( (ax-b)^2 = a^2x^2 - 2abx + b^2 \).

а) x² - nx + 16:

Здесь \( a^2 = 1 \) (значит \( a = 1 \)) и \( b^2 = 16 \) (значит \( b = 4 \)).

Средний член \( -nx \) должен быть равен \( \pm 2abx \).

\( -nx = \pm 2 \cdot 1 \cdot 4 x = \pm 8x \). Следовательно, \( n = \pm 8 \).

б) x² + 6x - n:

Здесь \( a^2 = 1 \) (значит \( a = 1 \)).

Средний член \( +6x \) равен \( +2abx \), значит \( 6x = 2 \cdot 1 \cdot bx \), откуда \( b = 3 \).

Свободный член \( -n \) равен \( b^2 = 3^2 = 9 \). Значит, \( -n = 9 \), то есть \( n = -9 \).

в) nx² - 12x + 4:

Здесь \( b^2 = 4 \) (значит \( b = 2 \)).

Средний член \( -12x \) равен \( \pm 2abx \).

\( -12x = \pm 2 \cdot ax \cdot 2 = \pm 4ax \). Отсюда \( ax = \pm 3x \), значит \( a = \pm 3 \).

Тогда \( n = a^2 = (\pm 3)^2 = 9 \).

г) x² + nx + 4/49:

Здесь \( a^2 = 1 \) (значит \( a = 1 \)) и \( b^2 = 4/49 \) (значит \( b = 2/7 \)).

Средний член \( nx \) должен быть равен \( \pm 2abx \).

\( nx = \pm 2 \cdot 1 \cdot (2/7) x = \pm (4/7)x \). Следовательно, \( n = \pm 4/7 \).

Ответ: а) n = ±8; б) n = -9; в) n = 9; г) n = ±4/7.