4. В клетки квадрата 3 × 3 вписали числа от 1 до 9, использовав каждое ровно один раз. Суммы чисел в каждой строке, среднем столбце и на каждой из двух диагоналей одинаковы. Какие числа могут стоять в центральной клетке?

Обозначим общую сумму через S. Сумма чисел от 1 до 9 равна 45, а сумма трёх строк равна 3S. Поэтому 3S = 45 и S = 15.

Сумма среднего ряда и среднего столбца равна 2S = 30. В ней каждое из четырёх чисел у краёв среднего ряда и среднего столбца учтено один раз, а центральное число — дважды. Сумма двух диагоналей также равна 2S = 30: в ней четыре угловых числа учтены по одному разу, а центральное — дважды. Вместе эти четыре равенства дают, что сумма четырёх угловых чисел и сумма четырёх средних крайних чисел одинаковы. Так как все числа дают сумму 45, центральное число должно быть 5.

Например, расстановка ниже удовлетворяет всем условиям:

Ответ: 5.