4. В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 5, а апофема этой пирамиды равна 3. Найдите полную площадь поверхности пирамиды.

Решение:

1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды \( a = 5 \).
2. Апофема пирамиды \( l = 3 \).
3. Площадь боковой поверхности пирамиды: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} l \), где \( P_{осн} \) — периметр основания.
4. \( P_{осн} = 3a = 3 \cdot 5 = 15 \).
5. \( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 3 = \frac{45}{2} = 22.5 \).
6. Площадь основания (правильный треугольник): \( S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5^2 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \).
7. Полная площадь поверхности пирамиды: \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{25\sqrt{3}}{4} + 22.5 \).

Ответ: \( \frac{25\sqrt{3}}{4} + 22.5 \).