5. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 9 см, а диагональ боковой грани равна 15 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Решение:

1. Диагональ боковой грани, боковое ребро призмы и сторона основания образуют прямоугольный треугольник.
2. Пусть \( a \) — сторона основания, \( b = 9 \) см — боковое ребро, \( d = 15 \) см — диагональ боковой грани.
3. По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = d^2 \).
4. \( a^2 + 9^2 = 15^2 \)
5. \( a^2 + 81 = 225 \)
6. \( a^2 = 225 - 81 = 144 \)
7. \( a = \sqrt{144} = 12 \) см.
8. Площадь боковой поверхности призмы: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot b \), где \( P_{осн} \) — периметр основания.
9. \( P_{осн} = 3a = 3 \cdot 12 = 36 \) см.
10. \( S_{бок} = 36 \cdot 9 = 324 \) см².
11. Площадь основания призмы (правильный треугольник): \( S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36\sqrt{3} \) см².
12. Полная площадь поверхности призмы: \( S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} = 324 + 2 \cdot 36\sqrt{3} = 324 + 72\sqrt{3} \) см².

Ответ: Площадь боковой поверхности 324 см², полная площадь поверхности \( 324 + 72\sqrt{3} \) см².