5. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.

Решение:

1. Основание призмы — прямоугольный треугольник с катетами \( a = 6 \) и \( b = 8 \).
2. Найдем гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора: \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \).
3. Периметр основания: \( P_{осн} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 \).
4. Площадь основания: \( S_{осн} = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \).
5. Площадь боковой поверхности призмы: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot H \), где \( H \) — высота призмы.
6. Полная площадь поверхности призмы: \( S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} = P_{осн} \cdot H + 2 S_{осн} \).
7. По условию, \( S_{полн} = 288 \).
8. \( 24 H + 2 \cdot 24 = 288 \)
9. \( 24 H + 48 = 288 \)
10. \( 24 H = 288 - 48 \)
11. \( 24 H = 240 \)
12. \( H = \frac{240}{24} = 10 \).

Ответ: 10.