4. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Выразить через векторы $\vec a=\vec{AB}$ и $\vec b=\vec{AD}$ вектор $\vec{OD}$. Варианты: а) $\frac12(\vec a-\vec b)$; б) $-\frac12(\vec a-\vec b)$; в) $\frac12(\vec a+\vec b)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Выразить через векторы $\vec a=\vec{AB}$ и \(\vec…$ Фото задания

4. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$. Выразить через векторы $\vec a=\vec{AB}$ и $\vec b=\vec{AD}$ вектор $\vec{OD}$. Варианты: а) $\frac12(\vec a-\vec b)$; б) $-\frac12(\vec a-\vec b)$; в) $\frac12(\vec a+\vec b)$.

Accepted Answer

Положим начало отсчёта в точке $A$. Тогда радиус-векторы точек $B$ и $D$ равны соответственно $\vec a$ и $\vec b$. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому $\vec{AO}=\frac12(\vec a+\vec b)$.

Тогда

\[\vec{OD}=\vec{AD}-\vec{AO}=\vec b-\frac12(\vec a+\vec b)=\frac12(\vec b-\vec a)=-\frac12(\vec a-\vec b).\]

Ответ: б) $-\frac12(\vec a-\vec b)$.