6. На сторонах $AB$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM=MB$, $AN:ND=3:4$. Выразите векторы $\vec{CM}$, $\vec{CN}$, $\vec{MN}$ через векторы $\vec x=\vec{CB}$ и $\vec y=\vec{CD}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. На сторонах $AB$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM=MB$, $AN:ND=3:4$.…$ Фото задания

Accepted Answer

Обозначим $\vec{AB}=\vec u$, $\vec{AD}=\vec v$. Тогда $\vec x=\vec{CB}=-\vec v$, $\vec y=\vec{CD}=-\vec u$.

Так как $M$ — середина $AB$, то $\vec{AM}=\frac12\vec u$. Поэтому $\vec{CM}=\vec{CA}+\vec{AM}=-(\vec u+\vec v)+\frac12\vec u=\vec x+\frac12\vec y$.

Из отношения $AN:ND=3:4$ следует $\vec{AN}=\frac37\vec v$. Тогда $\vec{CN}=\vec{CA}+\vec{AN}=-(\vec u+\vec v)+\frac37\vec v=\vec y+\frac47\vec x$.

Наконец, $\vec{MN}=\vec{CN}-\vec{CM}=\frac17\vec x+\frac12\vec y$.

Ответ: $\vec{CM}=\vec x+\frac12\vec y$, $\vec{CN}=\frac47\vec x+\vec y$, $\vec{MN}=\frac17\vec x+\frac12\vec y$.