4. В параллелограмме ABCD точка O — точка пересечения диагоналей. На продолжении отрезка AO за точку O отметили точку E так, что OE = AO. Докажите, что четырёхугольник ABEC — параллелограмм.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина диагонали BD: OB = OD.

Точки A, O, E лежат на одной прямой, причём O находится между A и E. По условию AO = OE, значит, O — середина AE.

В четырёхугольнике ABEC диагонали — AE и BC. Отрезок BC содержит точку O, поскольку O лежит на диагонали BD? Исправим обозначение диагоналей: диагонали четырёхугольника ABEC — AE и BC; однако O не обязана лежать на BC. Из исходных условий следует, что O — середина AE и BD, но не BC. Поэтому обычный признак диагоналей применить нельзя. Вместо этого используем координатное/векторное соотношение: при порядке вершин A-B-E-C нужно показать AB ∥ EC и BE ∥ AC. При заданных данных это в общем случае неверно.

Например, возьмём A=(0,0), B=(2,0), D=(1,1), тогда C=(3,1), O=(1.5,0.5), а E=2O−A=(3,1)=C. Условие допускает E=C, и ABEC вырожден. Следовательно, в формулировке, вероятно, опечатка: из данных нельзя доказать, что ABEC — параллелограмм.

Ответ: утверждение в таком виде не следует из условия; вероятно, в нём опечатка.