4. В прямоугольном треугольнике ABC (\( \angle C = 90^\circ \)) провели высоту СМ. Найдите угол АВС, если АС = 2 см, АМ = 1 см.

Часть 2, Задание 4

Дано:

• Прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \) (\( \angle C = 90^\circ \)).
• Высота \( CM \).
• \( AC = 2 \) см.
• \( AM = 1 \) см.

Найти: \( \angle ABC \).

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AMC \) (угол \( \angle AMC = 90^\circ \)).


2. В \( \triangle AMC \) нам известны катет \( AM = 1 \) см и гипотенуза \( AC = 2 \) см.


3. Мы можем найти \( \angle MAC \) (он же \( \angle BAC \)) используя синус:




• \( \sin(\angle MAC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AM}{AC} \)


• \( \sin(\angle MAC) = \frac{1}{2} \)


• Угол, синус которого равен \( \frac{1}{2} \), равен 30°.


• Следовательно, \( \angle MAC = 30^\circ \).




4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \).


5. В \( \triangle ABC \) мы знаем один острый угол \( \angle BAC = 30^\circ \) (который равен \( \angle MAC \)).


6. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.


7. Следовательно, \( \angle ABC + \angle BAC = 90^\circ \).


8. Чтобы найти \( \angle ABC \), вычтем \( \angle BAC \) из 90°:




• \( \angle ABC = 90^\circ - \angle BAC \)


• \( \angle ABC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Ответ: 60°.