4. В равнобедренной трапеции ABCD углы, прилежащие к стороне AD, равны 45°. Найдите площадь трапеции, если основания равны 13 и 27 см.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, AB = CD. Основания BC = 13 см, AD = 27 см. Углы при основании AD равны 45°, то есть ∠BAD = ∠CDA = 45°.

1. Высота трапеции: Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. В прямоугольных треугольниках ABH и DCK:
   
   • AH = KD.
   • AD = AH + HK + KD.
   • Так как ABCD — трапеция, HK = BC = 13 см.
   • AD = 2 ⋅ AH + BC
   • 27 = 2 ⋅ AH + 13
   • 2 ⋅ AH = 27 - 13 = 14
   • AH = 7 см.
2. Нахождение высоты: В прямоугольном треугольнике ABH, ∠BAH = 45°. Так как сумма углов в треугольнике 180°, то ∠ABH = 180° - 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник ABH — равнобедренный, и BH = AH = 7 см.
3. Площадь трапеции: Площадь трапеции вычисляется по формуле S = (a + b) / 2 ⋅ h, где a и b — основания, h — высота.
4. S = (13 + 27) / 2 ⋅ 7
5. S = 40 / 2 ⋅ 7
6. S = 20 ⋅ 7 = 140 см².

Ответ: Площадь трапеции равна 140 см².