Билет №5, 1. Определение подобных треугольников. Теорема об отношении площадей подобных треугольников.

Определение подобных треугольников:

Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников:

Формулировка: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Условие: Пусть даны два подобных треугольника ABC и A'B'C' с коэффициентом подобия k. Это означает, что:

• ∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C'
• AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C' = k

Теорема: Площадь треугольника ABC / Площадь треугольника A'B'C' = k²

Доказательство:

Площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту: S = 1/2 ⋅ основание ⋅ высота.

Пусть S_ABC — площадь треугольника ABC, S_A'B'C' — площадь треугольника A'B'C'.

S_ABC = 1/2 ⋅ BC ⋅ h_a

S_A'B'C' = 1/2 ⋅ B'C' ⋅ h'_a

Так как треугольники подобны, то и их высоты пропорциональны с тем же коэффициентом подобия k:

h_a / h'_a = k => h_a = k ⋅ h'_a

Теперь подставим это в формулу площади:

S_ABC = 1/2 ⋅ (k ⋅ B'C') ⋅ (k ⋅ h'_a)

S_ABC = k² ⋅ (1/2 ⋅ B'C' ⋅ h'_a)

S_ABC = k² ⋅ S_A'B'C'

Следовательно:

S_ABC / S_A'B'C' = k²