4. В трапеции ABCD (AB ∥ CD) диагонали пересекаются в точке O. Точка E — середина AD, точка F — середина BC. Середины треугольников ABO, ADC, DEO, DAB, BFO, BCD, CDO, CBA, AOB, COD найдите все пары равных площадей, то есть треугольники равны по площади.

Пусть длины оснований AB и CD равны a и c, высота трапеции — h. Положим нижнее основание AB на горизонтальную прямую, а верхнее CD — на расстоянии h. Диагонали трапеции делятся точкой пересечения в отношении оснований, поэтому расстояние от O до AB равно ah/(a+c), а до CD — ch/(a+c).

Обозначим через S(XYZ) площадь треугольника XYZ. Тогда:

• S(ABO) = a²h/[2(a+c)];
• S(CDO) = c²h/[2(a+c)];
• S(ADC) = S(DAB) = ach/[2(a+c)];
• S(DEO) = S(BFO) = ach/[4(a+c)];
• S(BCD) = S(CBA) = ach/[2(a+c)].

Следовательно, равные по площади группы: ADC, DAB, BCD, CBA; DEO и BFO. Треугольники ABO и CDO равны по площади друг другу только при равных основаниях a = c; такой факт условием не задан, поэтому утверждать их равенство нельзя.

Ответ: ADC = DAB = BCD = CBA; DEO = BFO.