8. В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполнено AB + CD = AD. Биссектрисы ∠BAD и ∠CDA пересекаются в P. Докажите, что PB = PC.

Построим точку E на стороне AD так, чтобы \(AE=AB\).

Так как AP — биссектриса угла BAD, отражение точки B относительно прямой AP лежит на луче AD. Обозначим эту точку через E. При отражении расстояния сохраняются, поэтому \(AE=AB\), а также

\[PB=PE.\]

Из условия \(AB+CD=AD\) следует:

\[AE+CD=AD,\qquad ED=CD.\]

Так как DP — биссектриса угла CDA, отражение точки C относительно DP лежит на луче DA. Расстояние до D сохраняется, а поскольку \(DC=DE\), образом точки C является та же точка E. Поэтому

\[PC=PE.\]

Следовательно,

\[PB=PE=PC.\]

Что и требовалось доказать.