4. В треугольнике ABC сторона AC = 6√2, ∠B = 60°, ∠C = 75°. Найдите сторону AB.

Сначала найдём угол A: \(A=180°-60°-75°=45°\).

По теореме синусов \(\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}\), поэтому

\(AB=6\sqrt2\cdot\frac{\sin75°}{\sin60°}\).

Подставим \(\sin75°=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\) и \(\sin60°=\frac{\sqrt3}{2}\):

\(AB=6\sqrt2\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\cdot\frac{2}{\sqrt3}=2\sqrt3(\sqrt6+\sqrt2)=6\sqrt2+2\sqrt6\).

Ответ: \(AB=6\sqrt2+2\sqrt6\).