4. Вычислите: а) 6^15 * 6^11 / 6^24 ; б) (5^3)^5 * 3^16 / (9 * 225^7).

Решение:

1. а) \( \frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}} \)
   Используем свойства степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
   \( \frac{6^{15+11}}{6^{24}} = \frac{6^{26}}{6^{24}} = 6^{26-24} = 6^2 = 36 \)
2. б) \( \frac{(5^3)^5 \cdot 3^{16}}{9 \cdot 225^7} \)
   Сначала упростим степени и основания:
   \( (5^3)^5 = 5^{3 \cdot 5} = 5^{15} \)
   \( 9 = 3^2 \)
   \( 225 = 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 \)
   Теперь подставим это в выражение:
   \( \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot (3^2 \cdot 5^2)^7} = \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot (3^{14} \cdot 5^{14})} \)
   \( = \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^{2+14} \cdot 5^{14}} = \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^{16} \cdot 5^{14}} \)
   Сократим \( 3^{16} \):
   \( \frac{5^{15}}{5^{14}} \)
   Используем свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
   \( 5^{15-14} = 5^1 = 5 \)

Ответ: а) 36; б) 5.