4. Вычислите: а) (6^15 * 6^11) / 6^24 ; б) ((5^3)^5 * 3^16) / (9 * 225^7)

Решение:

а) Вычисление дроби с одинаковыми основаниями:
Используем свойства степеней: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
\( \frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}} = \frac{6^{15+11}}{6^{24}} = \frac{6^{26}}{6^{24}} = 6^{26-24} = 6^2 = 36 \).

б) Вычисление сложного выражения:
Преобразуем числитель и знаменатель, чтобы привести к одинаковым основаниям.
Числитель: \( (5^3)^5 \cdot 3^{16} = 5^{3 \cdot 5} \cdot 3^{16} = 5^{15} \cdot 3^{16} \).
Знаменатель: \( 9 \cdot 225^7 \). Заметим, что \( 9 = 3^2 \) и \( 225 = 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 \).
\( 9 \cdot 225^7 = 3^2 \cdot (3^2 \cdot 5^2)^7 = 3^2 \cdot (3^{14} \cdot 5^{14}) = 3^{2+14} \cdot 5^{14} = 3^{16} \cdot 5^{14} \).
Теперь подставим обратно в дробь:
\( \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^{16} \cdot 5^{14}} \).
Сократим одинаковые основания:
\( \frac{5^{15}}{5^{14}} = 5^{15-14} = 5^1 = 5 \).

Ответ: а) 36; б) 5.