4. Вычислите: а) 6¹⁵ ⋅ 6¹¹ / 6²⁴; б) (5³)⁵ ⋅ 3¹⁶ / (9 ⋅ 225⁷)

4. Вычисления:

1. а) \( \frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}} \)
   1. Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
      \( \frac{6^{15+11}}{6^{24}} = \frac{6^{26}}{6^{24}} = 6^{26-24} = 6^2 \)
   2. Вычислим: \( 6^2 = 36 \)
2. б) \( \frac{(5^3)^5 \cdot 3^{16}}{9 \cdot 225^7} \)
   1. Упростим числитель, используя свойство \( (a^m)^n = a^{mn} \): \( 5^{3 \cdot 5} \cdot 3^{16} = 5^{15} \cdot 3^{16} \)
   2. Преобразуем знаменатель, представив 9 и 225 как степени 3 и 5: \( 9 = 3^2 \) и \( 225 = 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 \)
   3. Подставим в знаменатель: \( 3^2 \cdot (3^2 \cdot 5^2)^7 = 3^2 \cdot (3^{2 \cdot 7} \cdot 5^{2 \cdot 7}) = 3^2 \cdot 3^{14} \cdot 5^{14} \)
   4. Упростим знаменатель: \( 3^{2+14} \cdot 5^{14} = 3^{16} \cdot 5^{14} \)
   5. Теперь подставим упрощённые числитель и знаменатель в дробь: \( \frac{5^{15} \cdot 3^{16}}{3^{16} \cdot 5^{14}} \)
   6. Сократим общие множители (3¹⁶ и 5¹⁴): \( \frac{5^{15-14} \cdot 3^{16-16}}{1} = \frac{5^1 \cdot 3^0}{1} = 5 \cdot 1 = 5 \)

Ответ: а) 36; б) 5.