4. Выполните действия: а) $\left(\frac{y}{y-x}-\frac{y-x}{y}\right)\cdot\frac{y-x}{x}$; б) $\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\frac{2a-2b}{ab}\cdot\frac{1}{a-b}\right)\cdot\frac{a^2b^2}{a^2-b^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Выполните действия: а) $\left(\frac{y}{y-x}-\frac{y-x}{y}\right)\cdot\frac{y-x}{x}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Приведём разность в скобках к общему знаменателю: $\frac{y}{y-x}-\frac{y-x}{y}=\frac{y^2-(y-x)^2}{y(y-x)}=\frac{x(2y-x)}{y(y-x)}$.
Умножим на оставшуюся дробь и сократим: $\frac{x(2y-x)}{y(y-x)}\cdot\frac{y-x}{x}=\frac{2y-x}{y}$.
Сначала упростим произведение в скобках: $\frac{2a-2b}{ab}\cdot\frac{1}{a-b}=\frac{2(a-b)}{ab(a-b)}=\frac{2}{ab}$.
Тогда выражение в скобках равно $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\frac{2}{ab}=\frac{(a-b)^2}{a^2b^2}$.
Разложим разность квадратов и сократим: $\frac{(a-b)^2}{a^2b^2}\cdot\frac{a^2b^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a-b}{a+b}$.

Ответ: а) $\frac{2y-x}{y}$; б) $\frac{a-b}{a+b}$.

4. Выполните действия: а) \(\left(\frac{y}{y-x}-\frac{y-x}{y}\right)\cdot\frac{y-x}{x}\); б) \(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\frac{2a-2b}{ab}\cdot\frac{1}{a-b}\right)\cdot\frac{a^2b^2}{a^2-b^2}\).