42. 17 Записать уравнение касательной к графику функции f(x) = 3x² + 2х в точке x₀ = 2

Решение:

Уравнение касательной к графику функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид: \( y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \).

1. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 2 \): \( f(2) = 3(2)^2 + 2(2) = 3 · 4 + 4 = 12 + 4 = 16 \).
2. Найдем производную функции: \( f'(x) = (3x^2 + 2x)' = 6x + 2 \).
3. Найдем значение производной в точке \( x_0 = 2 \): \( f'(2) = 6(2) + 2 = 12 + 2 = 14 \).
4. Подставим значения в уравнение касательной: \( y = 16 + 14(x - 2) \).
5. Упростим: \( y = 16 + 14x - 28 = 14x - 12 \).

Ответ: \( y = 14x - 12 \).