52. 27 Найдите первообразную, график которой проходит через точку А: f (x) = 4x + 1/x², A(-1;4)

Решение:

Найдем первообразную функции \( f(x) = 4x + \frac{1}{x^2} = 4x + x^{-2} \).

1. Первообразная от \( 4x \) равна \( \frac{4x^{1+1}}{1+1} = \frac{4x^2}{2} = 2x^2 \).
2. Первообразная от \( x^{-2} \) равна \( \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x} \).
3. Первообразная в общем виде: \( F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + C \).
4. График проходит через точку \( A(-1; 4) \), значит, \( F(-1) = 4 \).
5. Подставим координаты точки в уравнение первообразной: \( 4 = 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C \).
6. \( 4 = 2(1) - (-1) + C \).
7. \( 4 = 2 + 1 + C \).
8. \( 4 = 3 + C \).
9. \( C = 4 - 3 = 1 \).
10. Таким образом, искомая первообразная: \( F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1 \).

Ответ: \( F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1 \).