45. 20 Тело движется прямолинейно со скоростью ϑ (t) = 3 + 3t² м/с. Найти путь, пройденный телом за 5 с от начала движения.

Решение:

Путь \( S \) равен интегралу от скорости \( v(t) \) по времени \( t \) от начального момента \( t_1 \) до конечного \( t_2 \).

1. Начальный момент времени \( t_1 = 0 \) с.
2. Конечный момент времени \( t_2 = 5 \) с.
3. Скорость дана как \( v(t) = 3 + 3t^2 \).
4. Найдём путь, вычислив определённый интеграл: \[ S = \int_{0}^{5} (3 + 3t^2) dt \].
5. Проинтегрируем: \[ S = \left[ 3t + \frac{3t^3}{3} \right]_{0}^{5} = \left[ 3t + t^3 \right]_{0}^{5} \].
6. Подставим пределы интегрирования: \( S = (3 · 5 + 5^3) - (3 · 0 + 0^3) \).
7. Вычислим: \( S = (15 + 125) - 0 = 140 \).

Ответ: 140 метров.