48. 23 Найти значения х, при которых значения производной функции f(x)=\(\frac{1+x}{x^2+3}\) положительно.

Решение:

Нам нужно найти значения \( x \), при которых \( f'(x) > 0 \).

1. Из предыдущей задачи мы нашли производную: \( f'(x) = \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2+3)^2} \).
2. Нам нужно решить неравенство \( f'(x) > 0 \), то есть \( \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2+3)^2} > 0 \).
3. Знаменатель \( (x^2+3)^2 \) всегда положителен.
4. Следовательно, неравенство сводится к \( -x^2 - 2x + 3 > 0 \).
5. Умножим на -1 и сменим знак неравенства: \( x^2 + 2x - 3 < 0 \).
6. Корни квадратного уравнения \( x^2 + 2x - 3 = 0 \) равны \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -3 \).
7. Парабола \( y = x^2 + 2x - 3 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 + 2x - 3 < 0 \) при \( -3 < x < 1 \).

Ответ: \( -3 < x < 1 \).