42) \(4+\sqrt{7}\)^{2}+\(4-\sqrt{7}\)^{2}

Привет! Давай разберемся с этим примером, который выглядит немного страшно, но на самом деле очень простой.

Нам нужно возвести в квадрат две суммы, а потом сложить результаты:

\[ (4+\sqrt{7})^{2}+(4-\sqrt{7})^{2} \]

Шаг 1: Вспомним формулы сокращенного умножения.

Нам понадобятся две формулы:

1. Квадрат суммы: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

2. Квадрат разности: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

В нашем случае, \( a=4 \) и \( b=\sqrt{7} \).

Шаг 2: Раскроем первую скобку.

\[ (4+\sqrt{7})^{2} = 4^{2} + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^{2} \]

Вычислим:

\[ 16 + 8\sqrt{7} + 7 \]

Сложим числа:

\[ 23 + 8\sqrt{7} \]

Шаг 3: Раскроем вторую скобку.

\[ (4-\sqrt{7})^{2} = 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^{2} \]

Вычислим:

\[ 16 - 8\sqrt{7} + 7 \]

Сложим числа:

\[ 23 - 8\sqrt{7} \]

Шаг 4: Сложим результаты.

Теперь сложим результаты из Шага 2 и Шага 3:

\[ (23 + 8\sqrt{7}) + (23 - 8\sqrt{7}) \]

Сгруппируем подобные слагаемые:

\[ 23 + 23 + 8\sqrt{7} - 8\sqrt{7} \]

Видим, что \( 8\sqrt{7} \) и \( -8\sqrt{7} \) взаимно уничтожаются:

\[ 46 + 0 \]

\[ 46 \]

Альтернативный подход (более быстрый):

Заметим, что \( (a+b)^2 + (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2 \).

В нашем случае \( a=4 \) и \( b=\sqrt{7} \).

\[ 2 \cdot 4^{2} + 2 \cdot (\sqrt{7})^{2} = 2 \cdot 16 + 2 \cdot 7 = 32 + 14 = 46 \]

Ответ: 46