46) \(\frac\){\(3^{3} \cdot 3^{5}\)^{6}}{\(3 \cdot 3^{8}\)^{5}}

Привет! Давай разберемся с этим выражением, где много степеней.

У нас есть дробь, в числителе и знаменателе которой стоят произведения степеней с одинаковым основанием.

\[ \frac{(3^{3} \cdot 3^{5})^{6}}{(3 \cdot 3^{8})^{5}} \]

Шаг 1: Упростим числитель.

Сначала вспомним правило умножения степеней с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

Внутри скобок в числителе:

\[ 3^{3} \cdot 3^{5} = 3^{3+5} = 3^{8} \]

Теперь возведем результат в степень 6:

\[ (3^{8})^{6} \]

Вспомним правило возведения степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

\[ (3^{8})^{6} = 3^{8 \cdot 6} = 3^{48} \]

Итак, числитель равен \( 3^{48} \).

Шаг 2: Упростим знаменатель.

Аналогично, в знаменателе у нас есть \( 3 \), что можно записать как \( 3^{1} \).

\[ 3 \cdot 3^{8} = 3^{1} \cdot 3^{8} = 3^{1+8} = 3^{9} \]

Теперь возведем результат в степень 5:

\[ (3^{9})^{5} \]

Используем правило возведения степени в степень:

\[ (3^{9})^{5} = 3^{9 \cdot 5} = 3^{45} \]

Итак, знаменатель равен \( 3^{45} \).

Шаг 3: Разделим числитель на знаменатель.

Теперь наша дробь выглядит так:

\[ \frac{3^{48}}{3^{45}} \]

Вспомним правило деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\[ \frac{3^{48}}{3^{45}} = 3^{48-45} = 3^{3} \]

Шаг 4: Вычислим окончательный результат.

Осталось вычислить \( 3^{3} \):

\[ 3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27 \]

Ответ: 27