42. Compare the fractions:

Решение:

Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю.

1. \( \frac{9}{10} \) и \( \frac{17}{20} \): Общий знаменатель 20. \( \frac{9 \times 2}{10 \times 2} = \frac{18}{20} \). Так как \( 18 > 17 \), то \( \frac{9}{10} > \frac{17}{20} \).
2. \( \frac{4}{9} \) и \( \frac{10}{27} \): Общий знаменатель 27. \( \frac{4 \times 3}{9 \times 3} = \frac{12}{27} \). Так как \( 12 > 10 \), то \( \frac{4}{9} > \frac{10}{27} \).
3. \( \frac{3}{10} \) и \( \frac{4}{15} \): Общий знаменатель 30. \( \frac{3 \times 3}{10 \times 3} = \frac{9}{30} \); \( \frac{4 \times 2}{15 \times 2} = \frac{8}{30} \). Так как \( 9 > 8 \), то \( \frac{3}{10} > \frac{4}{15} \).
4. \( \frac{6}{7} \) и \( \frac{2}{3} \): Общий знаменатель 21. \( \frac{6 \times 3}{7 \times 3} = \frac{18}{21} \); \( \frac{2 \times 7}{3 \times 7} = \frac{14}{21} \). Так как \( 18 > 14 \), то \( \frac{6}{7} > \frac{2}{3} \).
5. \( \frac{7}{15} \) и \( \frac{19}{40} \): Общий знаменатель 120. \( \frac{7 \times 8}{15 \times 8} = \frac{56}{120} \); \( \frac{19 \times 3}{40 \times 3} = \frac{57}{120} \). Так как \( 56 < 57 \), то \( \frac{7}{15} < \frac{19}{40} \).
6. \( \frac{13}{18} \) и \( \frac{23}{42} \): Общий знаменатель 126. \( \frac{13 \times 7}{18 \times 7} = \frac{91}{126} \); \( \frac{23 \times 3}{42 \times 3} = \frac{69}{126} \). Так как \( 91 > 69 \), то \( \frac{13}{18} > \frac{23}{42} \).

Ответ: 1) \( > \); 2) \( > \); 3) \( > \); 4) \( > \); 5) \( < \); 6) \( > \).